什么是齐次函数？
在数学里，如果一个函数 f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n)f(x1,x2,…,xn) 满足：
f(tx1,tx2,…,txn)=tkf(x1,x2,…,xn)
f(t x_1, t x_2, \dots, t x_n) = t^k f(x_1, x_2, \dots, x_n)
f(tx1,tx2,…,txn)=tkf(x1,x2,…,xn)
对任意实数 ttt 都成立，那么这个函数就叫做齐次函数（homogeneous function），其中指数 kkk 称为次数（degree of homogeneity）。
简单来说：
你把输入变量整体放大 ttt 倍，函数的值就会放大 tkt^ktk 倍。如果 k=1k=1k=1，叫做一次齐次函数（线性齐次函数）；如果 k=2k=2k=2，就是二次齐次函数；以此类推。
举些例子
线性函数
f(x,y)=3x+2y
f(x,y) = 3x + 2y
f(x,y)=3x+2y
如果输入整体乘 ttt，得到：
f(tx,ty)=3(tx)+2(ty)=t(3x+2y)=tf(x,y)
f(tx, ty) = 3(tx) + 2(ty) = t(3x+2y) = t f(x,y)
f(tx,ty)=3(tx)+2(ty)=t(3x+2y)=tf(x,y)
所以它是 一次齐次函数。
二次函数
f(x,y)=x2+xy+y2
f(x,y) = x^2 + xy + y^2
f(x,y)=x2+xy+y2
如果输入整体乘 ttt，得到：
f(tx,ty)=(tx)2+(tx)(ty)+(ty)2=t2(x2+xy+y2)
f(tx, ty) = (tx)^2 + (tx)(ty) + (ty)^2 = t^2 (x^2 + xy + y^2)
f(tx,ty)=(tx)2+(tx)(ty)+(ty)2=t2(x2+xy+y2)
所以它是 二次齐次函数。
非齐次函数
f(x,y)=x2+y+5
f(x,y) = x^2 + y + 5
f(x,y)=x2+y+5
放大输入时，各项放大倍数不一样，有的平方，有的一次，有的常数项不变，所以它不是齐次函数。
齐次函数的几何意义
齐次函数其实是一种“按比例缩放”的规律：
你把输入放大，输出就以固定的次方规律放大。这意味着函数对“方向”比较敏感，但对“长度”的依赖是有规律的。
比如在经济学里，投入生产的所有资源同时增加一倍，如果产出也增加一倍，那生产函数就是一次齐次（规模报酬不变）；如果产出增加超过一倍，就是大于一次（规模报酬递增）；如果少于一倍，就是小于一次（规模报酬递减）。
Euler 定理（齐次函数的重要性质）
齐次函数最重要的一个结论是 欧拉定理（Euler’s theorem）：
如果 fff 是次数为 kkk 的齐次函数，那么
x1∂f∂x1+x2∂f∂x2+⋯+xn∂f∂xn=kf(x1,x2,…,xn)
x_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + \cdots + x_n \frac{\partial f}{\partial x_n} = k f(x_1, x_2, \dots, x_n)
x1∂x1∂f+x2∂x2∂f+⋯+xn∂xn∂f=kf(x1,x2,…,xn)
这条公式有很强的解释力：
它说明函数的值可以用它对各变量的“边际贡献”加权求和得到。在经济学里，这对应于“总产出 = 各要素的边际产出 × 投入量”的规律。
应用意义
数学与几何
在解析几何中，二次齐次函数对应二次曲线或二次曲面，比如椭圆、双曲面。在微分方程中，齐次函数的缩放性质常常帮助我们找到对称性和简化解法。
物理学
齐次函数常出现在能量表达式里，比如动能是速度的二次齐次函数。引力或电场势能的某些形式，也体现出齐次性。
经济学
生产函数经常假设为齐次函数，用来描述“投入与产出”的规模关系。规模报酬不变（一次齐次）、规模报酬递增或递减，都可以用齐次函数来表达。
小结
齐次函数的核心思想是：输入成比例放大，输出会按固定次方放大。它的次数 kkk 决定了放大多少倍。Euler 定理揭示了齐次函数和偏导数之间的深刻关系。在数学、物理、经济学里，齐次函数广泛出现，是研究比例、对称性和规模规律的重要工具。